数学学習の記録 245 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問22

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問22を解いてみる。

概形はiPadのneu.Notesにより描いてます。

問22

(1)

点Pを通る傾きmの直線の方程式は

$y=m(x-x_{0})+y_{0}$

これを問題の楕円の方程式に代入してyを消去すると、

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{(m(x-x_{0})+y_{0})^{2}}{b^{2}}=1$

$(b^{2}+a^{2}m^{2})x^{2}-2a^{2}m(mx_{0}-y_{0})x+a^{2}((m-x_{0})^{2}-b^{2})=0$

直線が楕円の接線になるためには、このxに関する2次方程式が重解を持てば良いので判別式を考えると、

$(a^{2}m(mx_{0}-y_{0}))^{2}-(a^{2}m^{2}+b^{2})(a^{2}((mx_{0}-y_{0})^{2}-b^{2})=0$

$(a^{2}x_{0}m^{2}-a^{2}y_{0}m)^{2}-(a^{2}m^{2}+b^{2})a^{2}(x_{0}^{2}m^{2}-2x_{0}y_{0}m+y_{0}^{2}-b^{2})=0$

$(a^{4}x_{0}^{2}-a^{4}x_{0}^{2})m^{4}+(-2a^{4}x_{0}y_{0}+2a^{4}x_{0}y_{0})m^{3}\\ +(a^{4}y_{0}^{2}-a^{4}y_{0}^{2}+a^{4}b^{2}-a^{2}b^{2}x_{0}^{2})m^{2}\\ +2x_{0}y_{0}a^{2}b^{2}m+a^2b^2(b^{2}-y_{0}^{2})$