数学学習の記録 221.2 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第10章(新しい数とその表示-複素数と複素平面)の10.1(複素平面)、複素数の極形式の問8, 9

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第10章(新しい数とその表示-複素数と複素平面)の10.1(複素平面)、複素数の極形式の問8, 9を解いてみる。

問8

neu.Notesで描いたイメージ図

$|i\bar{z}|=|z|$

$arg(i\bar{z})=\frac{\pi}{2}-arg(z)$

$\frac{arg(z+i\bar{z})}{2}=\frac{\pi}{4}$

よって複素平面上で点zと、座標軸の間の角を2等分する直線y=xに関して対象な点は $i\bar{z}$ となる。

問9

(1)

絶対値 r+1/r

偏角 θ

(2)

r+z=r+r(cos θ + i sin θ)

= r(1+cos θ + i sin θ)

= 2r(cos^{2}θ/2 + i sin θ/2 cos θ/2)

=2rcos θ/2 (cos θ/2 + i sin θ/2)

よって

絶対値 2rcos θ/2

偏角 θ/2

(3)

r-z=r-r(cos θ + i sin θ)

=r(1-cos θ - i sin θ)

=r(1+cos(θ-π) + i sin(θ-π))

=2rcos(θ/2-π/2)(cos(θ/2-π/2) + i sin(θ/2-π/2))

=2rsin θ/2 (cos(θ/2-π/2) + i sin(θ/2-π/2))

よって

絶対値 2rsin θ/2

偏角 θ/2 - π/2

(4)

(2), (3)より、

絶対値 (2rsin θ/2 )(2rcos θ/2 )=tan θ/2

偏角 (θ/2 - π/2) - θ/2=-π/2

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