数学学習の記録 217.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めることの問32 | Kamimura's blog

2010年6月25日金曜日

数学学習の記録 217.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めることの問32

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、交点の位置ベクトルを求めることの問32を解いてみる。

問32

neu.Notesで描いたイメージ図

まず、問題の定義より

$\vec{AP}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}$

また、以下のようにl, m, nを定める。

$\vec{AL}=(1-l)\vec{b}+l\vec{c}$

$\vec{AM}=(1-m)\vec{b}$

$\vec{AN}=n\vec{b}$

また点A, P, Lは1直線上にあるのである実数kが存在して,

$\vec{AL}=k\vec{AP}$

$(1-l)\vec{b}+l\vec{c}=k\left(\frac{\vec{b}}{3}+\frac{\vec{c}}{2}\right)$

よって、

1-l=k/3

l=k/2

という連立方程式が成り立つのでこれを解くと、

k=2l

1-l=2l/3

3-3l=2l

l=3/5

k=1/5

よって

$\vec{AL}=\frac{2}{5}\vec{b}+\frac{3}{5}\vec{c}$

また、点Lは線分BCを

3:2

に内分する。

点B, P, Mは1直線上に存在するので、ある実数jが存在して、

$\vec{BM}=j\vec{BP}$

$(1-m)\vec{c}-\vec{b}=j(\vec{AP}-\vec{b})$

$(1-m)\vec{c}-\vec{b}=\frac{j}{2}\vec{c}-\frac{2j}{3}\vec{b}$

よって、

1-m=j/2

-1=-2j/3

という連立方程式が成り立つのでこれを解くと、

j=3/2

m=1-3/4=1/4

となる。よって

$\vec{AC}=(1-m)\vec{c}=\frac{3}{4}\vec{c}$

また、点Mは線分CAを

1:3

に内分する。

同様に、

$\vec{CN}=i\vec{CP}$

$n\vec{b}-\vec{c}=i(\vec{AP}-\vec{c})$

$n\vec{b}-\vec{c}=\frac{i}{3}\vec{b}-\frac{i}{2}\vec{c}$

n=i/3

-1=-i/2

i=2

n=2/3

よって

$\vec{AN}=\frac{2}{3}\vec{b}$

また、点Nは線分ABを

2:1

に内分する。

時刻: 18:13 ラベル: Application , iPad , TeX , 解析学 , 数学 , 本

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