数学学習の記録 214.2 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、分点の位置ベクトルの問26

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.2(ベクトルの応用)、分点の位置ベクトルの問26を解いてみる。

問26

点L,P,M,Q,N,Rがそれぞれ六角形ABCDEFの辺AB, BC, CD, DE, EFの中点になるように点A,B,C,D,E,Fを定め、さらに六角形の点A,B,C,D,E,Fの位置ベクトルをそれぞれ

$A(\vec{a}),\ B(\vec{b}),\ C(\vec{c}),\ D(\vec{d}),\ E(\vec{e}),\ F(\vec{f})$

とおく。中点L,P,M,Q,N,Rの位置ベクトルも同様に定める。

このとき、三角形LMNの重心は

$\frac{\vec{l}+\vec{m}+\vec{n}}{3}$

$=\frac{1}{3}\left(\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}+\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}+\frac{\vec{e}+\vec{f}}{2}\right)$

$=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}}{6}$

三角形PQRの重心は

$\frac{\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}}{3}$

$=\frac{1}{3}\left(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}+\frac{\vec{d}+\vec{e}}{2}+\frac{\vec{f}+\vec{a}}{2}\right)$

$=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}+\vec{e}+\vec{f}}{6}$

よって三角形LMNの重心と三角形PQRの重心は一致する。(証明終)

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