数学学習の記録 212 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問19 | Kamimura's blog

2010年6月20日日曜日

数学学習の記録 212 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問19

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第9章(図形と代数の交錯する世界 - 平面上のベクトル)の9.1(ベクトルとその演算)、内積を成分で表すことの問19を解いてみる。

問19

$|\vec{a}-\vec{b}|^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}-2(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{b}|^{2}$

よって

$\vec{a}\cdot\vec{b}$

$=\frac{(|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-|\vec{a}-\vec{b}|^{2})}{2}$

$=\frac{5^{2}+2^{2}-(3\sqrt{5})^{2}}{2}$

$=\frac{29-45}{2}$

=-8

$|\vec{a}+\vec{b}|^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}+2(\vec{a}\cdot\vec{b})+|\vec{b}|^{2}$

$=5^{2}-2\cdot8+2^{2}$

=13

よって

$|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{13}$

$|\vec{a}+2\vec{b}|^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}+2(\vec{a}\cdot2\vec{b})+|2\vec{b}|^{2}$

$=5^{2}+4(-8)+4\cdot2^{2}$

よって

$|\vec{a}+2\vec{b}|=3$

$|\vec{a}-2\vec{b}|^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}+2(\vec{a}\cdot(-2\vec{b}))+|-2\vec{b}|^{2}$

=25+32+16

=73

よって

$|\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{73}$

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