数学学習の記録 194 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の問28

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の問28を解いてみる。



問28

(1)

左辺

=((cos θ - sin θ)/cos θ + sin θ))^{2}

=(1-2sin θ cos θ)/(1+2sin θ cos θ)

=(1-2sin 2θ)/1+2sin 2θ)

(2)

左辺

=4cos^{3}θ-3cos θ+3sin θ-4^{3}sin θ

=(cos θ - sin θ)(4(cos^{2}+cos θ sin θ + sin^{2}θ) - 3)

=(cos θ - sin θ)(1-2sin θ cos θ)

(3)

左辺

=tan(θ+2θ)

=(tan θ + tan 2θ)/(1-tan θ tan 2θ)

=(tan θ + 2tan θ/(1-tan^{2}θ))/(1-2tan^{2}θ/(1-tan^{2}θ))

=(3tan θ - tan^{3}θ)/(1-tan^{2}θ) * (1-tan^{2}θ)/(1-3tan^{2}θ)

=(3tan θ - tan^{3}θ)/(1-3tan^{2}θ)

(4)

左辺

=(2sin θ/2 cos θ/2 +1-(cos^{2}θ/2-sin^{2}θ/2))/(2sin θ/2 cos θ/2+(cos^{2}θ/2+sin^{2}θ/2))

=(2sin θ/2 cos θ/2+2sin^{2}θ/2)/(2sin θ/2 cos θ/2 +2cos^{2}θ/2)

=sin θ/2 / cos θ/2

=tan θ/2

(5)

左辺

=tan θ/2 -(tan θ/3 + tan θ/6)

=tan θ/2 - (tan(θ/3 + θ/6)(1-tan θ/3 tan θ/6)

=tan θ/2(1-1+tan θ/3 tan θ/6)

=tan θ/2 tan θ/3 tan θ/6