数学学習の記録 193.1 "簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の問26

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第8章(円の中にひそむ関数ー三角関数)の8.2(加法定理)、三角関数の諸公式の問26を解いてみる。



問26

sin 2α

=2sin α cos α

=2sqrt{1-cos^{2}α}cos α

=2sqrt{1-1/9}1/3

=4sqrt{2}/9


cos 2α

=cos^{2}α - sin^{2}α

=2cos^{2}α - 1

=2/9-1

=-7/9


αは第1象限の角なので、

α=θ+2nπ (0 < θ < π/2, nは自然数)

と表すことが出来る。

α/2=θ/2 + nπ

以上より、

sin α/2, cos α/2

はnが偶数のときともに正、nが奇数のときともに負となる。

sin^{2}α/2

=(1-cos α)/2

=1/3

cos^{2}α/2

=(1+cos α)/2

=2/3

よって

sin α/2=±sqrt{3}/3, cos α/2=±sqrt{6}/3 (複合同順)

となる。