数学学習の記録 157 簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本) 第6章 問13,14,15

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問13

xの切片をa,yの切片をbとすると、

x/a+y/b=1

この方程式の直線が点(3,2)を通るので

3/a+2/b=1

3b+2a=ab

ab-2a-3b=0

(a-3)(b-2)=6

問題の仮定より、a,bは正の整数なので

0<a<3 かつ 0<b<2

または

3<a かつ b<2

となる。

前者と仮定すると

b=1

より、

a-3=-6

a=-3

となり、a>0と矛盾する。

よって

3<a かつ b<2

よって

a-3=1 かつ b-2=6

a=4,b=8

または

a-3=2 かつ b-2=3

a=5,b=5

または

a-3=3 かつ b-2=2

a=6,b=4

または

a-3=6 かつ b-2=1

a=9,b=3

となる。

よって求める直線の方程式は

x/4+y/8=1

x/5+y/5=1

x/6+y/4=1

x/9+y/3=1

の4つとなる。

問14

(1)

問題の直線の方程式を変形すると

y=2x-5

よって求める直線の方程式は

y=2x

(2)

求める直線の方程式の傾きをmとすると

m=-3/2

求める直線の方程式は点(-1,2)を通るのでその方程式は

y-2=(-3/2)(x+1)

3x+2y+1=0

(3)

問題の直線の方程式を変形すると

y=(-2/5)x+4

求める直線の方程式の傾きをmとすると

(-2/5)m=-1

m=5/2

求める直線の方程式は点(1,-1)を通るのでその方程式は

y+1=5/2(x-1)

5x-2y-7=0

(4)

2点(8,2),(-2,7)を通る直線の方程式は

y-2=((2-7)/(8-(-2)))(x-8)

y-2=(-1/2)(x-8)

よってこの方程式の直線に垂直な方程式の直線の傾きmは

(-1/2)m=-1

m=2

求める直線の方程式は点(1,1)を通るのでその方程式は

y-1=2(x-1)

y=2x-1

問15

(1)

求める点の座標を点A(a,b)とすると、問題の方程式の直線と直線OAは垂直なので

(b/a)(1/2)=-1

b=-2a

となる。

また点A,Oの中点は

((a/2),(-2a/2))

となり、この点は問題の方程式の直線上にあるので

a/2+2a+5=0

a=-2

よって求める対称点は

(-2,4)

(2)

求める点の座標をA(a,b)とすると問題の方程式の直線と点(-3,0)とAを通る直線は垂直なので

(-4/3)(b/(a+3))=-1

b=(3(a+3))/4

となる。

また、2点(-3,0),Aの中点は

((-3+a)/2,3(3(a+3))/8)

となり、この点は方程式の直線上にあるので

4(-3+a)/2+3(3(a+3)/8)-13=0

-48+16a+9a+27-104=0

25a=125

a=5

よって求める対称点は

(5,6)