数学学習の記録 156.1 簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本) 第6章 問7,8,9

"簡単な関数 平面図形と式 指数関数・対数関数 三角関数 (数学読本)"の第6章 問7,8,9を解いてみる。




問7

頂点Cの座標を(x,y)とおくと

(-1+8+x)/3=4

x=5

(-2+1+y)/3=2

y=7

よって求める頂点Cの座標は

(5,7)

問8

点A,B,C,Dの座標をそれぞれ

(a_1,a_2),(b_1,b_2),(c_1,c2),(d_1,d_2)

とおく。

このとき点P,Q,R,Sの座標はそれぞれ

((a_1+b1)/2,(a_2+b_2)/2),

((b_1+c_1)/2,(b_2,c_2)/2),

((c_1+d_1)/2,(c_2,d_2)/2),

((d_1+a_1)/2,(d_2,a_2)/2)

となる。よって線分PRの中点の座標は

((a_1+b_1+c_1+d_1)/4,(a_2+b_2+c_2+d_2)/4),

となる。同様にして線分QSの中点の座標を求めると線分PRの中点と一致する。

よって線分PRと線分QRは互いに他を二等分する。(証明終)

問9

対角線ACの中点Mの座標は

((a_1+c_1)/2,(a_2+c_2)/2),

対角線BDの中点Nの座標は

((b_1+d_1)/2,(b_2+d_2)/2)

よって線分MNの中点の座標は

((a_1+b_1+c_1+d_1)/4,(a_2+b_2+c_2+d_2)/4)

となり、交点Gと一致する。

よって線分MNも線分PRと線分QRの交点Gを通り、しかも点Gで二等分される。(証明終)