数学学習の記録 149 簡単な関数平面図形と式指数関数・対数関数三角関数 (数学読本) 第5章問25,26,27 | Kamimura's blog

2010年4月16日金曜日

数学学習の記録 149 簡単な関数平面図形と式指数関数・対数関数三角関数 (数学読本) 第5章問25,26,27

"簡単な関数平面図形と式指数関数・対数関数三角関数 (数学読本)"の第5章問25,26,27を解いてみる。

問25

$y=-2x+3\geq0$

$y\geq0,x\geq0$

より

$0\leq x\leq\frac{3}{2}$

(1)

$2x^{2}+(-2x+3)^{2}$

$6x^{2}-12x+9$

$=6(x-1)^{2}+3$

この放物線の軸は

x=1

よって問題の放物線の求める最大値、最小値はそれぞれ

9,3

(2)

$2x^{2}-(-2x+3)^{2}$

$=-2x^{2}+12x-9$

$=-2(x-3)^{2}+9$

この放物線の軸は

x=3

よって問題の放物線の求める最大値、最小値はそれぞれ

$-2\cdot\frac{9}{4}+12\cdot\frac{3}{2}-9=\frac{9}{2}$ ,-9

問26

$x\leq0$

のとき

$x^{2}-x-12$

=(x-4)(x+3)<0

よって求める不等式の解は

$-3<x\leq0$

x>0のとき

$x^{2}+x-12\\<br />=(x+4)(x-3)<0$

よって求める不等式の解は

0<x<3

以上より、問題の不等式の解は

-3<x<3

問27

$x^{2}-(3+m)x+2+ma=0$

$(3+m)^{2}-4(2+ma)$

$=m^{2}+(6-4a)m+1$

$(6-4a)^{2}-4$

=(4a-8)(4a-4)

=4(a-2)(a-1)

問題の仮定より

1<a<2

なので

$(6-4a)^{2}-4>0$

となり、問題の2次方程式は異なる2つの実数解をもつ。

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