数学学習の記録 146 簡単な関数平面図形と式指数関数・対数関数三角関数 (数学読本) 第5章問8,9,10 | Kamimura's blog

2010年4月13日火曜日

数学学習の記録 146 簡単な関数平面図形と式指数関数・対数関数三角関数 (数学読本) 第5章問8,9,10

"簡単な関数平面図形と式指数関数・対数関数三角関数 (数学読本)"の第5章問8,9,10を解いてみる。

問8

(1)

$y=\frac{1}{2}(x+2)^{2}-2$

軸 x=-2 頂点 (-2,-2)

グラフ

(2)

$y=(x-1)^{2}+2$

軸 x=1 頂点 (1,2)

グラフ

(3)

$y=-(x+2)^{2}+1$

軸 x=-2 頂点 (-2,1)

グラフ

(4)

$y=x(-2+\frac{3}{2}x)=-2(x-\frac{3}{4})^{2}+\frac{9}{8}$

軸 3/4 頂点(3/4,9/8)

グラフ

問9

それぞれ求める2次関数を

$y=ax^{2}+bx+c$

とおく。

(1)

仮定より

$c=2\\<br />4a+2b+c=0\\<br />4a-2b+c=-12$

この連立方程式を解く。

$8a=-12-2c\\<br />8a=-16\\<br />a=-2\\<br />b=-2a-\frac{1}{2}c=-3$

よって求める2次関数は

$y=-2x^{2}-3x+2$

(2)

仮定より

$y=a(x-3)^{2}-4=ax^{2}-6ax+9a-4\\<br />25a+5b+c=0$

よって

$b=-6a\\<br />c=9a-4\\<br />25a+5b+9a-4=0\\<br />34a+5b=4$

$34a-30a=4\\<br />a=1\\<br />b=-6\\<br />c=5$

よって求める2次関数は

$y=x^{2}-6x+5$

(3)

頂点を(d,0)とおくと、

$y=a(x-d)^{2}$

仮定より

$1=(1-d)^{2}\\<br />4=a(4-d)^{2}\\<br />4(1-d)^{2}=(4-d)^{2}$

$4d^{2}-8d+4=d^{2}-8d+16\\<br />3d^{2}-12=0\\<br />(d-2)(d+2)=0$

よって

d=2,a=1

または

$d=-2,a=\frac{1}{9}$

よって求める2次関数は

$y=(x-2)^{2}$

または

$y=\frac{1}{9}(x+2)^{2}$

問10

$y=-(x-p)^{2}+p^{2}+p$

頂点の座標を(x,y)とおくと

$x=p,y=p(p+1)\\<br />y=x(x+1)$

よって頂点は放物線

y=x(x+1)

上を動きます。

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