数学学習の記録 144.2 数・式の計算・方程式不等式 (数学読本) 第4章問41

数・式の計算・方程式不等式 (数学読本)"の第4章問41を解いてみる。

問41

1つ目の仮定より

$b^{2}-ac<0$

2つ目のかていより

$c^{2}-ab=0$

問題の2次方程式について、

$a^{2}-bc>0$

となることを証明すればよい。

$b^{2}<ac\\<br />c^{2}=ab$

より、aとc,aとbは同符号、すなわちa,b,cは同符号である。さらに前者の不等式に後者の不等式をかけると、

$b^{2}c^{2}<a^{2}bc\\<br />a^{2}bc-b^{2}c^{2}>0$

となる。b,cは同符号より、bcは正の実数なのでこの不等式の両辺をbcで割ると、

$a^{2}-bc>0$

となる。

(証明終了)

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