数学学習の記録 109.1 ルベーグ積分を測度の実数倍ではさむ。

2010年3月3日水曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間、Aを可測集合とする。

$A\in M$

また、fをA上で可測な関数とし、

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<f(x)\right\}\in M\right]$

さらに有界とする。

$\exists M_{0}\in R\forall x\in A\left[|f(x)|\leq M_{0}\right]$

また、Aの測度は有限とする。

$\mu(A)<+\infty$

このとき、

$\forall a,b\in R$

$\left[\left(\forall x\in A[a\leq f(x)\leq b]\right)\\ \Rightarrow \left(a\mu(A)\leq\int_{A}f(x)\ d\mu\leq b\mu(A)\right)\right]$

が成り立つ。