数学学習の記録 109 ルベーグ積分可能であるための十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とする。

$A\in M$

fをA上で可測、

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<f(x)\right\}\in M\right]$

かつ有界、

$\exists M_{0}\forall x\in A[|f(x)|<M_{0}]$

かつ、 $\mu(A)$ は有限

$\mu(A)<+\infty$

と仮定すると、

$\int_{A}f^{+}\ d\mu\leq\int_{A}M_{0}\ d\mu=M_{0}\mu(A)$

となるので、

$\int_{A} f^{+}\ d\mu<+\infty$

同様に、

$\int_{A}f^{-}\ d\mu<+\infty$

よって、

$\int_{A}f\ d\mu$

はルベーグ積分可能である。

以上をまとめると、

(X,M, $\mu$ )を測度空間とし、Aを可測集合とし、

$A\in M$

fがA上で可測、

$\forall a\in R\left[\left\{x\in A|a<f(x)\right\}\in M\right]$

かつ有界、

$\exists M\forall x\in A[|f(x)|<M_{0}]$

かつ、 $\mu(A)$ は有限

$\mu(A)<+\infty$

ならば、

$\int_{A}f\ d\mu$

はルベーグ積分可能である。

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