数学学習の記録 98 σ集合環とその性質について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Xを集合、 $\Re$ をX上の集合環とする。

$\phi\ne\Re\subset P(X)\\ \forall A,B\in\Re[A\cup B\in \Re\wedge A-B\in\Re]$

このとき、

$\forall A,B\in \Re[A\cup B]$

なので、より一般的に、

$\forall n\in N\forall A_{1},\cdot\ \cdot\ \cdot\ ,A_{n}\in \Re\\ \left[A_{1}\cup\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cup A_{n}=\bigcup_{i=n}^{n}A_{i}\right]$

が成り立つ。また、

$\forall A,B\in\Re[A\cap B]$

も成り立つので和集合と同様に、

$\forall n\in N\forall A_{1},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ ,A_{n}\in \Re\\ \left[A_{1}\cap\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \cap A_{n}\in\Re\right]$

も成り立つ。

このことから、集合環を有限加法族ともいう。

さらに、集合環 $\Re$ がの可算個の元の和集合が $\Re$ の元(可算和について閉じている)のとき、

$\forall A_{1},\forall A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in \Re\\ \left[\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\Re\right]$

すなわち任意の可算集合族

$\left(A_{n}\right)_{n\in Z^{+}}\left(A_{n}\in\Re\right)$

について、

$\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\Re$

が成り立つとき、 $\Re$ をX上のσ集合環という。

$\Re$ がX上のσ集合環ならば、集合環のときと同様に

$\forall A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in\Re\\$

$\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}\\ =\bigcap_{n=1}^{\infty}(A_{1}\cap A_{n})\\ =\bigcap_{n=1}^{\infty}(A_{1}-(A_{1}-A_{n}))\\ =A_{1}-\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_{1}-A_{n})$

となり、集合環の定義より差集合は閉じているので

$(A_{1}-A_{n})\in\Re$

であり、σ集合環の定義より可算和は閉じているので、

$\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_{1}-A_{n})\in\Re$

なので、再び集合環の定義より差集合は閉じているので、

$A_{1}-\bigcup_{n=1}^{\infty}(A_{1}-A_{n})\in\Re$

となり、

$\forall A_{1},A_{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \in\Re\\ \left[\bigcap_{n=1}^{\infty}A_{n}\in\Re\right]$

が成り立つ。

Kamimura's blog

2010年2月20日土曜日

数学学習の記録 98 σ集合環とその性質について。

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