数学学習の記録 98.1 加法的集合関数について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Xを集合、 $\Re$ をX上の集合環とする。

$\phi\ne\Re\subset P(X)$

$\forall A,B\in\Re[A\cup B\in\Re\wedge A-B\in\Re]$

また、

$\bar{R}=R\cup\left{{-\infty,+\infty\right\}$

と拡大実数系を定める。

一般にXの部分集合族を

$\Re'\subset P(X)$

とするとき、写像

$\varphi :\Re'\rightarrow \bar{R}\\<br />\forall A\in\Re\left[\varphi(A)\in\bar{R}\right]$

を $\Re'$ 上の集合関数という。

以下集合関数の値域Vについて、

$\neg[-\infty\in V\wedge+\infty\in V]$

$\neg[V=\left\{+\infty\right\}\vee V=\left\{-\infty\right}]$

とする。

(最初に定義した)集合環 $\Re$ 上の集合関数

$\varphi:\Re\rightarrow\bar{R}\\<br />\forall A\in\Re\left[\varphi(A)\in\bar{R}\right]$

が加法的であるとは、

$\forall A,B\in\Re\left[A\cap B=\phi\Rightarrow\varphi(A\cup B)=\varphi(A)+\varphi(B)\right]$

が成り立つことをいう。

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