数学学習の記録 93.3 連続性が関数級数に遺伝するための十分条件について。 | Kamimura's blog

2010年2月15日月曜日

数学学習の記録 93.3 連続性が関数級数に遺伝するための十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

区間Iを定義域とする関数列を

$(f_{n})_{n\in N}$

とし、すべてのnに対して関数

$f_{n}$

は区間Iで連続であるとする。

そのとき、関数級数xの関数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

が一様収束すると仮定する。このことは、部分和(xの関数)

$\sum_{i=0}^{n}{f_{i}(x)}$

が一様収束することと同等である。さらにこの部分和は連続なので、数学学習の記録 93.2 連続性が極限関数にも遺伝するための十分条件について。より、関数級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

も区間Iで連続である。

以上をまとめると、

区間Iを定義域とする関数列を

$(f_{n})_{n\in N}$

とし、すべてのnに対して関数

$f_{n}$

は区間Iで連続であるとするとするとき、関数級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

が連続であるためには、

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

が一様収束する、すなわち、部分和

$\sum_{i=0}^{n}{f_{i}(x)}$

が関数級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

に一様収束することが十分である。

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