数学学習の記録 93.2 連続性が極限関数にも遺伝するための十分条件について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

関数列を

とし、すべてのnに対して区間Iで関数f_{n}が連続であるとする。

そのとき、この関数列が関数fに一様収束すると仮定する。すると、Iの任意の点x_{0}に対して

となる。また、関数f_{n}は連続関数なので、

上記の2つのことと、数学学習の記録 93.1 極限の順序の交換が可能なための十分条件について。から、

すなわち、極限関数fは区間Iで連続となる。

以上をまとめると、

関数列を

とし、すべてのnに対して区間Iで関数f_{n}が連続であるとする。

そのとき、極限関数fも区間Iで連続であるためには、上記の関数列が極限関数fに一様収束することが十分である。