数学学習の記録 92 関数列が一様収束するための必要十分条件について(一様収束に関するコーシーの条件)。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数全部の集合Rの部分集合Eにおける関数列を

$(f_{n})_{n\in N}$

とする。

そのとき、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall x\in E\forall m,n\in N\\ [n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n\Rightarrow |f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon]$

が成り立つならば、各点xに対して数列

$(f_{n}(x))_{n\in N}$

はコーシー列となるので、数学学習の記録 80.2 実数列が収束するための必要十分条件(コーシー列)について。よりこの数列は収束するので、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{f_{n}(x)=f(x)$

として関数fを定めると、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall x\in E\forall m\in N\\ [n_{0}\leq m\Rightarrow |f_{m}(x)-f(x)|<\varepsilon]$

よって、関数列

$(f_{n})_{n\in N}$

は一様収束する。

逆に関数列

$(f_{n})_{n\in N}$

が関数fに一様収束する

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall n\in N\forall x\in E\\ [n_{0}\leq n\Rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon]$

ならば、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\forall x\in E\\ [n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n$

$\Rightarrow |f_{m}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}\wedge|f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}\\ \Rightarrow |f_{m}(x)-f_{n}(x)|\\ =|f_{m}(x)-f(x)+f(x)-f_{n}(x)|$

$\leq|f_{m}(x)-f(x)|\ +\ |f_{n}(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon]$

以上をまとめると、実数全体の部分集合Eにおける関数列

$(f_{n})_{n\in N}$

がEにおいて一様収束するためには、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall m,n\in N\forall x\in E\\ [n_{0}\leq m\wedge n_{0}\leq n\Rightarrow|f_{m}(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon]$

が成り立つことが必要十分である。

Kamimura's blog

2010年2月14日日曜日

数学学習の記録 92 関数列が一様収束するための必要十分条件について(一様収束に関するコーシーの条件)。

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