数学学習の記録 92.1 関数級数の一様収束について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

実数全部の集合Rの部分集合Eにおける関数列を

$(f_{n})_{n\in N}$

とする。そのとき、関数級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}$

とし、

$\forall x\exists1 a\left[\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}=a\right]$

が成り立つとすれば、上記の関数級数はEにおける実数値関数となる。その関数をs(x)とする。

また、その部分和は

$\sum_{i=0}^{n}{f_{i}(x)}$

となる。その部分和の列を考える。

$\left(\sum_{i=0}^{n}{f_{i}(x)}\right)_{n\in N}$

この部分和の列にたいして、

$\forall\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists n_{0}\in N\forall n\in N\forall x\in E\\ \left[n_{0}\leq n\Right\left|\sum_{i=0}^{n}{f_{i}(x)}-\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}(x)}\right|<\varepsilon\right]$

が成り立つとき、級数

$\sum_{n=0}^{\infty}{f_{n}}$

はEにおいて関数sに一様収束するという。

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2010年2月14日日曜日

数学学習の記録 92.1 関数級数の一様収束について。

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