数学学習の記録 102.3 集合列の収束の差集合と各項の差集合の収束の関係性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

A,Bをp次元Euclid空間の部分集合とする。

$A,B\subset R^{p}$

また、集合列を、

$\left(A_{n}\right)_{n\in N},\left(B_{n}\right)_{n\in N}\left(A_{n},B_{n}\subset R^{p}\right)$

とする。

そのとき、

$A_{n}\rightarrow A\wedge B_{n}\rightarrow B\ \ \ (n\rightarrow\infty)$

と仮定すると、距離の定義より、

$d(A_{n}- B_{n},A- B)$

$=\mu^{\ast}((A_{n}- B_{n})\triangle(A- B))\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

$\ast\leq\mu^{\ast}((A_{n}\triangle A)\cup(B_{n}\triangle B))\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast\ast$

$\ast\ast\leq\mu^{\ast}(A_{n}\triangle A)+\mu^{\ast}(B_{n}\triangle B)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast\ast\ast$

再び距離の定義より、

$\ast\ast\ast=d(A_{n},A)+d(B_{n},B)$

よって仮定より、

$0\leq\lim_{n\rightarrow\infty}{d(A_{n}- B_{n},A- B)}\leq 0+0=0$

すなわち

$\lim_{n\rightarrow \infty}{d(A_{n}- B_{n},A- B)=0$

以上をまとめると、

A,Bをp次元Euclid空間の部分集合とし、

$A,B\subset R^{p}$

集合列を、

$\left(A_{n}\right)_{n\in N},\left(B_{n}\right)_{n\in N}\left(A_{n},B_{n}\subset R^{p}\right)$

とするとき、

$A_{n}\rightarrow A\wedge B_{n}\rightarrow B\ \ \ (n\rightarrow\infty)\\ \Rightarrow A_{n}- B_{n}\rightarrow A- B\ \ \ (n\rightarrow\infty)$

が成り立つ。

上記と、

より、集合列の和集合、共通部分、差集合の収束について遺伝することが分かる。

Kamimura's blog