数学学習の記録 102.2 集合列の収束の共通部分と各項の共通部分の収束の関係性について。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

A,Bをp次元Euclid空間の部分集合とする。

$A,B\subset R^{p}$

また、集合列を、

$\left(A_{n}\right)_{n\in N},\left(B_{n}\right)_{n\in N}\left(A_{n},B_{n}\subset R^{p}\right)$

とする。

そのとき、

$A_{n}\rightarrow A\wedge B_{n}\rightarrow B\ \ \ (n\rightarrow\infty)$

と仮定すると、距離の定義より、

$d(A_{n}\cap B_{n},A\cap B)$

$=\mu^{\ast}((A_{n}\cap B_{n})\triangle(A\cap B))\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

$\ast\leq\mu^{\ast}((A_{n}\triangle A)\cup(B_{n}\triangle B))\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast\ast$

$\ast\ast\leq\mu^{\ast}(A_{n}\triangle A)+\mu^{\ast}(B_{n}\triangle B)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast\ast\ast$

再び距離の定義より、

$\ast\ast\ast=d(A_{n},A)+d(B_{n},B)$

よって仮定より、

$0\leq\lim_{n\rightarrow\infty}{d(A_{n}\cap B_{n},A\cap B)}\leq 0+0=0$

すなわち

$\lim_{n\rightarrow \infty}{d(A_{n}\cap B_{n},A\cap B)=0$

以上をまとめると、

A,Bをp次元Euclid空間の部分集合とし、

$A,B\subset R^{p}$

集合列を、

$\left(A_{n}\right)_{n\in N},\left(B_{n}\right)_{n\in N}\left(A_{n},B_{n}\subset R^{p}\right)$

とするとき、

$A_{n}\rightarrow A\wedge B_{n}\rightarrow B\ \ \ (n\rightarrow\infty)\\ \Rightarrow A_{n}\cap B_{n}\rightarrow A\cap B\ \ \ (n\rightarrow\infty)$

が成り立つ。

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