数学学習の記録 101 p次元Euclid空間の部分集合の外測度の性質について(初等集合の外測度について)。 | Kamimura's blog

2010年2月23日火曜日

数学学習の記録 101 p次元Euclid空間の部分集合の外測度の性質について(初等集合の外測度について)。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

$\mu^{\ast$ をp次元Euclid空間の外測度とする。また、Eを初等集合全部の集合(これは集合環となる)とする。

このとき、正則な加法的関数より、

$\forall A\in E\varepsilon\in R(\varepsilon>0)\exists G\in O(E)$

$\left[\left(A\subset G\right)\wedge\left(\mu(G)-\varepsilon<\mu(A)\right)\right]$

となるので、

$\mu(G)<\mu(A)+\varepsilon$

となる。このことと外測度の定義により、

$\mu^{\ast}(A)\leq\mu(G)<\mu(A)+\varepsilon$

$\mu^{\ast}(A)<\mu(A)+\varepsilon$

$\mu^{\ast}(A)\leq\mu(A)\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \ast$

となる。また、ある初等可算開被覆

$\left(A_{n}\right)_{n\in Z^{+}}\left(A_{n}\in O(E)\right)$

が存在し、

$\sum_{n=1}^{\infty}{\mu(A_{n})}\leq\mu^{\ast}(A)+\varepsilon$

となる。また、正則な加法的関数より、

$\exists F\in A(E)\\ \left[F\subset A\wedge\mu(A)<\mu(F)+\varepsilon\right]$

が成り立ち、Fは有界な閉区間で、さらに、

$F\subset A\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$

$F\subset\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}$

となるので、

$\exists n_{0}\in N\left[F\subset \bigcup_{i=1}^{n_{0}}A_{i}\right]$

が成り立つ。よって、

$\mu(F)\\ \leq\mu\left(\sum_{i=1}^{n_{0}}{A_{i}}\right)\\ \leq\sum_{i=1}^{n_{0}}{\mu(A_{i})}$

$\leq\sum_{i=1}^{\infty}{\mu(A_{i})}\\ \leq\mu^{\ast}(A)+\varepsilon$

となるので、

$\mu(A)\\ <\mu(F)+\varepsilon\\ \leq\mu^{\ast}(A)+\varepsilon+\varepsilon\\ \leq\mu^{\ast}(A)+2\varepsilon$

となり、

$\mu(A)\leq\mu^{\ast}(A)$

となる。*とこのことから、

$\mu^{\ast}(A)=\mu(A)$

が成り立つ。

以上をまとめると、

$\mu^{\ast$ をp次元Euclid空間の外測度、また、Eを初等集合全部の集合(これは集合環となる)とすとき、

$\forall A\in E[\mu^{\ast}(A)=\mu(A)]$

が成り立つ。

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