数学学習の記録 100.3 p次元Euclid空間の部分集合の外測度の性質について(非負性、包含関係について)。

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

$\mu^{\ast$ をp次元Euclid空間の外測度とする。

このとき、

$\forall A\subset R^{p}[0\leq\mu^{\ast}(A)\leq+\infty]$

が成り立つ。

また、A,Bを $R^{p}$ の任意の部分集合とし、

$A\subset B$

とする。そのとき、

$\left(B_{n}\right)_{n\in Z^{+}}$

をBの可算開被覆とすると、

$A\subset B\subset \bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\left(B_{n}\in E\right)$

となり、上記の集合族はAの可算開被覆でもあるので、

$\mu^{\ast}(A)\leq \sum_{n=1}^{\infty}{\mu^{\ast}(B_{n})}$

となり、

$\mu^{\ast}(A)\leq\mu^{\ast}(B)$

となる。

以上をまとめると、

$\forall A,B\subset R^{p}\\<br />\left[A\subset B\Rightarrow \mu^{\ast}(A)\leq\mu^{\ast}(B)\right]$

が成り立つ。

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