2010年1月29日金曜日

GoogleドキュメントのTeXによる数式入力の練習。

Rを環(Ring),

R\ne\phi
(1)\forall a,b,c\in R[(a+b)+c=a+(b+c)]\\<br />(2)\exists 0\in R\forall a\in R[a+0=0+a=a]\\<br />(3)\forall a\in R-a\in R[a+(-a)=(-a)+a=0]\\<br />(4)\forall a,b\in R[a+b=b+a]
(5)\forall a,b,c\in R[(ab)c=a(bc)]\\<br />(6)\forall a,b,c\in R\\<br />[a(b+c)=ab+ac\wedge (a+b)c=ac+bc]\\<br />(7)\forall a\in R[1a=a]

MをR-加群、

M\ne\phi
(1)\forall x,y,z\in M[(x+y)+z=x+(y+z)]\\<br />(2)\exists 0\in M\forall x\in M[x+0=0+x=x]\\<br />(3)\forall x\in M\exists -x\in M[x+(-x)=(-x)+x=0]\\<br />(4)\forall x,y\in M[x+y=y+x]
(5)\forall a\in R\forall x,y\in M[a(x+y)=ax+ay]\\<br />(6)\forall a,b\in R\forall x\in M[(a+b)x=ax+bx]\\<br />(7)\forall a,b\in R\forall x\in M[(ab)x=a(bx)]\\<br />(8)\forall x\in M[1x=x]

NをMの部分加群とする。

N\subset M\\<br />(1)0\in N\\<br />(2)\forall x,y\in N[x+y\in N]\\<br />(3)\forall x\in N[-x\in N]\\<br />(4)\forall a\in R\forall x\in N[ax\in N]


このとき、Mを加法群、Nをその部分群と考え、M/Nを商群とする。このとき、M/Nの加法は商群の加法と同様に定め、スカラー倍を

\forall a\in R xN\in M/N[a(xN)=(ax)N]

と定める。このとき、M/Nは加法群であり、

(1)\forall a\in R\forall xN,yN\in M/N\\<br />[a(xN+yN)=(ax)N+(ay)N]\\<br />(2)\forall a,b\in R\forall xN\in M/N\\<br />[(a+b)xN=(ax)N+(bx)N]\\<br />(3)\forall a,b\in R\forall xN\in M/N\\<br />[(ab)xN=a(b(xN))]
(4)\forall xN\in M/N[1(xN)=xN]

よりM/Nは環(Ring)R上の加群となる。このR-加群M/NのことをMのNによる商加群という。

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