数学学習の記録 33.3 コンパクトな部分集合の性質

2009年12月17日木曜日

TeXによる数式入力の練習。

(S,O)を位相空間とする。

Rのコンパクトな部分集合Mについて。

$\forall M\subset R((C)M)\\ \exists a,b\in M\forall x\in M\\ [a\leq x\leq b]$

((C)Mは集合Mがコンパクトであることを表す)

また、次のことも成り立つ。

$f:S\rightarrow R((C)S)\\ \forall M\in O(R)\\ [f^{-1}(M)\in O]$

とする。そのとき

$\exists a,b\in S\forall x\in S\\ [f(a)\leq f(x)\leq f(b)]$