数学 - Python - 微分積分学 - 積分法 - 不定積分の計算 - 部分積分法、漸化式、累乗と平方根の積

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、演習問題10.の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\frac{d}{\mathrm{dx}}(\frac{2}{3+2m}{x}^m(x+a)\sqrt{x+a}-\frac{2ma}{3+2m}{I}_{m-1})$

    $=\frac{2}{3+2m}(m{x}^{m-1}(x+a)\sqrt{x+a}+x^m\sqrt{x+a}+\frac{x^m\sqrt{x+a}}{2}-ma\left(x^{m-1}\sqrt{x+a}\right))$

    $=\frac{2x^{m-1}\sqrt{x+a}}{3+2m}(m(x+a)+x+\frac{x}{2}-ma)$

    $=\frac{2x^{m-1}\sqrt{x+a}}{3+2m}(mx+\frac{3}{2}x)$

    $=\frac{2x^m\sqrt{x+a}}{3+2m}(m+\frac{3}{2})$

    $=\frac{x^m\sqrt{x+a}}{3+2m}(2m+3)$

    $=x^m\sqrt{x+a}$

    よって、

    $I_m=\frac{2}{3+2m}{x}^m(x+a)\sqrt{x+a}-\frac{2ma}{3+2m}{I}_{m-1}$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import sqrt, symbols, Integral, Derivative, plot

print('10.')

m = symbols('m', positive=True)
x, a = symbols('x, a', real=True)
f = x ** m * sqrt(x + a)


class Test(TestCase):
    def test(self):
        self.assertEqual(
            f,
            (
                Derivative(2 * x ** m * (x + a) * sqrt(x + a) / (3 + 2 * m),
                           x,
                           1).doit() -
                2 * m * a * f.subs({m: m-1}) / (3 + 2 * m)
            ).simplify()
        )


p = plot(*[f.subs({m: m0, a: 1}) for m0 in range(1, 5)],
         (x, -1, 4),
         ylim=(-2.5, 2.5),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample10.png')
if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py -v
10.
test (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.304s

OK
%