数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 有界部分集合、直径、有界閉集合列、共通部分、コーシー列、収束、極限

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題12の解答を求めてみる。

12. 
    
    ${\left(x_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}(x_n\in A_n)$

    という数列を考える。

    $\underset{n\to \infty }{\lim }diam{A}_n=0$

    なので、コーシー列である。

    また、 X は完備なので 収束する。

    $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a$

    とおく。

    このとき、 任意の n に 対して

    $a\in A_n$

    なので

    $a\in \cap n\in \text{ℕ}{A}_n$

    また、

    $b\in \cap n\in \text{ℕ}{A}_n$

    とすると、

    $\underset{n\to \infty }{\lim }diam{A}_n=0$

    より

    $a=b$

    ゆえに、

    $\cap n\in \text{ℕ}{A}_n$

    はただ1つの 元のみから成る集合である。

    （証明終）