数学 - Python - 放物線・だ円・双曲線 - 2次関数 - 2次曲線と直線 - だ円・双曲線と直線 - 領域、だ円、最大値と最小値、接線と接点

新装版 数学読本3
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新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.2(2次曲線と直線)、だ円・双曲線と直線の問19の解答を求めてみる。

19. 
    
    $4x+y=k$

    とおくと、

    $y=-4x+k$

    この直線が だ円

    $2x^2+y^2=9$

    と接する場合に k は最大値、最小値をとる。

    $2x^2+{(-4x+k)}^2=9$

    $18x^2-8kx+k^2-9=0$

    $\frac{D}{4}=16k^2-18(k^2-9)=0$

    $8k^2-9(k^2-9)=0$

    $-k^2+81=0$

    $k=\pm 9$

    よって、 （x, y）が

    $2x^2+y^2\le 9$

    を動くとき、

    $4x+y$

    の最大値は9、 最小値は-9である。

    解と係数の関係により、最大値をとるときのx の値は

    $x=\frac{4}{18}·9=2$

    よって、 求める点は

    $(2,-4·2+9)=(2,1)$

    同様に、最小値をとるとき、

    $x=-2$

    $(-2,(-4)·(-2)-9)=(-2,-1)$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import plot, solve, symbols

print('19.')

x, y = symbols('x, y', real=True)
eq = 2 * x ** 2 + y ** 2 - 9
ys = solve(eq, y)
ls = [-4 * x + k for k in [-9, 9]]
p = plot(*ys,
         *ls,
         1, -1,
         (x, -10, 10),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.save('sample19.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample19.py
19.
%