2020年7月4日土曜日

学習環境

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(放物線・だ円・双曲線 - 2次関数)、12.1(放物線・だ円・双曲線)、だ円の問5の解答を求めてみる。



    1. x 2 + y 2 2 = 1

    2. x 2 ( 4 2 ) 2 + y 2 ( 4 2 ) 2 - ( 2 3 2 ) 2 = 1
      x 2 4 + y 2 = 1

    3. 焦点間の距離が 4で長軸は4軸上にあるので、焦点は

      ( - 2 , 0 ) , ( 2 , 0 )

      短軸の長さを2b とすると、 問題の仮定より長軸の長さは

      2 a = 2 2 b

      また、

      b = a 2 - 2 2 = a 2 - 4

      よって、

      b = 2 b 2 - 4
      b 2 = 2 b 2 - 4
      b 2 = 4
      b = 2
      a = 2 2

      ゆえに求める楕円の方程式は

      x 2 8 + y 2 4 = 1

    4. 楕円上の点 (1,-2)から2焦点までの距離の和は

      1 + ( - 2 - 3 ) 2 + 1 + ( - 2 + 3 ) 2
      = 1 + 4 + 3 + 4 3 + 1 + 4 + 3 - 4 3
      = 8 + 4 3 + 8 - 4 3
      = 2 2 + 3 + 2 2 - 3
      = 2 ( 2 + 3 + 2 - 3 )

      よって、求める楕円の方程式は

      x 2 + ( y - 3 ) 2 + x 2 + ( y + 3 ) 2 = 2 ( 2 + 3 + 2 - 3 )
      2 x 2 + 2 y 2 + 6 + 2 ( x 2 + ( y - 3 ) 2 ) ( x 2 + ( y + 3 ) 2 ) = 4 ( 4 + 2 )
      x 2 + y 2 + x 4 + ( ( y - 3 ) 2 + ( y + 3 ) 2 ) x 2 + ( y 2 - 3 ) 2 = 9
      x 2 + y 2 + x 4 + ( 2 y 2 + 6 ) x 2 + ( y 2 - 3 ) 2 = 9
      x 4 + 2 ( y 2 + 3 ) x 2 + ( y 2 - 3 ) 2 = ( 9 - x 2 - y 2 ) 2
      x 4 + 2 x 2 y 2 + 6 x 2 + y 4 - 6 y 2 + 9 = 81 - 18 ( x 2 + y 2 ) + x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2
      24 x 2 + 12 y 2 = 72
      x 2 3 + y 2 6 = 1

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import plot, solve
from sympy.abc import x, y

print('5.')
eqs = [
    x ** 2 + y ** 2 / 2 - 1,
    x ** 2 / 4 + y ** 2 - 1,
    x ** 2 / 8 + y ** 2 / 4 - 1,
    x ** 2 / 3 + y ** 2 / 6 - 1,
]
ys = []
for eq in eqs:
    ys += solve(eq, y)

p = plot(*ys,
         (x, -3, 3),
         ylim=(-3, 3),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.save('sample5.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py 
5.
%

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