数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 部分空間の正規直交基底、内積、射影

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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 直交基底を求める。
  
  $v_{1} = (1, 1, - 1)$
  
  $v_{2} = (1, 0, 1) - \frac{(1, 0, 1) \cdot (1, 1, - 1)}{(1, 1, 1) \cdot (1, 1, - 1)} (1, 1, - 1)$
  
  $= (1, 0, 1)$
  
  よって、正規直交基底は
  
  $\frac{(1, 1, - 1)}{∥ (1, 1, - 1) ∥} = (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{3}})$
  
  $\frac{(1, 0, 1)}{∥ (1, 0, 1) ∥} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}})$
2. 直交基底
  
  $(2, 1, 1)$
  
  $(1, 3, - 1) - \frac{(1, 3, - 1) \cdot (2, 1, 1)}{(2, 1, 1) \cdot (2, 1, 1)} (2, 1, 1)$
  
  $= (1, 3, - 1) - \frac{2}{3} (2, 1, 1)$
  
  $= (- \frac{1}{3}, \frac{7}{3}, - \frac{5}{3})$
  
  正規直交基底。
  
  $\frac{(2, 1, 1)}{∥ (2, 1, 1) ∥} = (\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$
  
  $\frac{(- 1, 7, - 5)}{∥ (- 1, 7, - 5) ∥} = (- \frac{1}{5 \sqrt{3}}, \frac{7}{5 \sqrt{3}}, - \frac{5}{5 \sqrt{3}}) = (- \frac{1}{5 \sqrt{3}}, \frac{7}{5 \sqrt{3}}, - \frac{1}{\sqrt{3}})$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import Matrix, sqrt print('1.') class Test(TestCase): def test(self): As = [Matrix([1, 1, -1]) / sqrt(3), Matrix([1, 0, 1]) / sqrt(2)] Bs = [Matrix([2, 1, 1]) / sqrt(6), Matrix([-1, 7, -5]) / (5 * sqrt(3))] for i, (v1, v2) in enumerate([As, Bs]): print(f'({chr(ord("a") + i)})') for v in [v1, v2]: self.assertEqual(v.norm(), 1) self.assertEqual(v1.dot(v2), 0) if __name__ == "__main__": main()

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2020年7月7日火曜日

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