数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 4次元、部分空間の正規直交基底、内積、射影

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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題2の解答を求めてみる。

1. 直交基底。
  
  $(1, 2, 1, 0)$
  
  $(1, 2, 3, 1) - \frac{(1, 2, 3, 1) \cdot (1, 2, 1, 0)}{(1, 2, 1, 0) \cdot (1, 2, 1, 0)} (1, 2, 1, 0)$
  
  $= (1, 2, 3, 1) - \frac{4}{3} (1, 2, 1, 0)$
  
  $= \frac{1}{3} (- 1, - 2, 5, 3)$
  
  よって正基直交基底は、
  
  $\frac{(1, 2, 1, 0)}{∥ (1, 2, 1, 0) ∥} = \frac{1}{\sqrt{6}} (1, 2, 1, 0)$
  
  $\frac{(- 1, - 2, 5, 3)}{∥ (- 1, - 2, 5, 3) ∥} = \frac{1}{\sqrt{39}} (- 1, - 2, 5, 3)$
2. $(1, 1, 0, 0)$
  
  $(1, - 1, 1, 1) - \frac{(1, - 1, 1, 1) \cdot (1, 1, 0, 0)}{(1, 1, 0, 0) \cdot (1, 1, 0, 0)} (1, 1, 0, 0) = (1, - 1, 1, 1)$
  
  $(- 1, 0, 2, 1) - \frac{(- 1, 0, 2, 1) \cdot (1, - 1, 1, 1)}{(1, - 1, 1, 1) \cdot (1, - 1, 1, 1)} (1, - 1, 1, 1) - \frac{(- 1, 0, 2, 1) \cdot (1, 1, 0, 0)}{(1, 1, 0, 0) \cdot (1, 1, 0, 0)} (1, 1, 0, 0)$
  
  $(- 1, 0, 2, 1) - \frac{1}{2} (1, - 1, 1, 1) + \frac{1}{2} (1, 1, 0, 0) = \frac{1}{2} (- 2, 2, 3, 1)$
  
  よって、
  
  $\frac{(1, 1, 0, 0)}{∥ (1, 1, 0, 0) ∥} = \frac{1}{\sqrt{2}} (1, 1, 0, 0)$
  
  $\frac{(1, - 1, 1, 1)}{∥ (1, - 1, 1, 1) ∥} = \frac{1}{2} (1, - 1, 1, 1)$
  
  $\frac{(- 2, 2, 3, 1)}{∥ (- 2, 2, 3, 1) ∥} = \frac{1}{3 \sqrt{2}} (- 2, 2, 3, 1)$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import Matrix, sqrt print('2.') class Test(TestCase): def test_a(self): a = Matrix([1, 2, 1, 0]) / sqrt(6) b = Matrix([-1, -2, 5, 3]) / sqrt(39) for v in [a, b]: self.assertEqual(v.norm(), 1) self.assertEqual(a.dot(b), 0) def test_b(self): a = Matrix([1, 1, 0, 0]) / sqrt(2) b = Matrix([1, -1, 1, 1]) / 2 c = Matrix([-2, 2, 3, 1]) / (3 * sqrt(2)) for v in [a, b, c]: self.assertEqual(v.norm(), 1) for v in [a, b, c]: for w in [a, b, c]: if v != w: self.assertEqual(a.dot(b), 0) if __name__ == "__main__": main()

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2020年7月8日水曜日

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