数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 実数を成分とする正方行列、積のトレース(対角要素の和)、スカラー積の定義、退化、零

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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題7の解答を求めてみる。

SP 1 の可換律について。

$⟨ A, B ⟩$

$= t r (A B)$

$= t r (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j})$

$= \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i})$

$= \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k i})$

$= t r (\sum_{k = 1}^{n} b_{i k} a_{k j})$

$= t r (B A)$

$= ⟨ B, A ⟩$

SP 2の分配律について。

$⟨ A, B + C ⟩$

$= t r (A (B + C))$

$= t r (A B + A C)$

$= t r (\sum_{k = 1}^{n} (a_{i k} b_{k j} + a_{i k} c_{k j}))$

$= \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} (a_{i k} b_{k i} + a_{i k} c_{k i}))$

$= \sum_{i = 1}^{n} (\sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i} + \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} c_{k i})$

$= \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k i} + \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} c_{k i}$

$= t r (A B) + t r (A C)$

$= ⟨ A, B ⟩ + ⟨ A, C ⟩$

SP 3のスカラ倍について。

$⟨ x A, B ⟩$

$= t r (x A B)$

$= x t r (A B)$

$= x ⟨ A, B ⟩$

$⟨ A, x B ⟩$

$= t r (A (x B))$

$= x t r (A B)$

$= x ⟨ A, B ⟩$

よって、トレースはスカラー積である。

また、任意の n 次の正方行列 A が任意の n 次の正方形行列 B に対してそのスカラー積が零ならば、

$t r (A B) = 0$

$\sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} (a_{i k} b_{k i}) = 0$

なので、

$A = O$

よって、トレースによるスカラー積の定義は退化していない。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, symbols

print('7.')

a = Matrix(symbols('a:16', real=True)).reshape(4, 4)
b = Matrix(symbols('b:16', real=True)).reshape(4, 4)
c = Matrix(symbols('c:16', real=True)).reshape(4, 4)
x = symbols('x', real=True)


def scalar_mul(a, b):
    return (a * b).trace()


class TestTrace(TestCase):
    def test1(self):
        self.assertEqual(scalar_mul(a, b), scalar_mul(b, a))

    def test2(self):
        self.assertEqual(scalar_mul(a, b + c).expand(),
                         scalar_mul(a, b) + scalar_mul(a, c))

    def test3(self):
        for ai, bi in [(x * a, b), (a, x * b)]:
            self.assertEqual(scalar_mul(ai, bi).expand(),
                             (x * scalar_mul(a, b)).expand())


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample7.py -v
7.
test1 (__main__.TestTrace) ... ok
test2 (__main__.TestTrace) ... ok
test3 (__main__.TestTrace) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 3 tests in 0.090s

OK
%

Kamimura's blog

2020年7月13日月曜日

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