数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明 - 4次式、絶対不等式、非負、平方、式の変形、判別式

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、3(不等式の証明)、問19の解答を求めてみる。

19. 
    
    $(a^4+b^4+c^4)-(b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2)$

    $=\frac{1}{2}({(a^2-b^2)}^2+{(b^2-c^2)}^2+{(c^2-a^2)}^2)$

    $\ge 0$

    よって、

    $a^4+b^4+c^4\ge b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2$

    $(b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2)-abc(a+b+c)$

    $=(b^2+c^2-bc)a^2-bc(b+c)a+b^2{c}^2$

    $D={\left(bc(b+c)\right)}^2-4(b^2+c^2-bc)b^2{c}^2$

    $=b^2{c}^2({(b+c)}^2-4(b^2+c^2-bc))$

    $=b^2{c}^2(-3b^2-3c^2+6bc)$

    $=-3b^2{c}^2(b^2+c^2-2bc)$

    $=-3b^2{c}^2{(b-c)}^2$

    $\le 0$

    よって、

    $(b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2)-abc(a+b+c)\ge 0$

    ゆえに、

    $abc(a+b+c)\le b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2$

    以上より、

    $a^4+b^4+c^4\ge b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^2{b}^2\ge abc(a+b+c)$

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy.plotting import plot3d
from sympy.abc import x, y

print('19.')

z = 1
f = x ** 4 + y ** 4 + z ** 4
g = (y * z) ** 2 + (z * x) ** 2 + (x * y) ** 2
h = x * y * z * (x + y + z)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
p = plot3d(f, g, h,
           (x, -5, 5),
           (y, -5, 5),
           show=False)
p.xlabel = x
p.ylabel = y
p.save(f'sample19.png')
p.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample19.py
19.
%