数学 - Python - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明 - 正の数に関する絶対不等式 - 平方の大小、差の平方と平方の差の大小、絶対値

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代数への出発 (新装版数学入門シリーズ) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、3(不等式の証明)、正の数に関する絶対不等式、問25、26、27の解答を求めてみる。

${(\sqrt{a - b})}^{2} - {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}$

$= a - b - a - b + 2 \sqrt{a b}$

$= - 2 b + 2 \sqrt{a b}$

$> - 2 b + 2 \sqrt{b^{2}}$

$= 0$

よって、

${(\sqrt{a - b})}^{2} > {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}$

$\sqrt{a - b} > \sqrt{a} - \sqrt{b}$

ゆえに、

$\sqrt{a - b}$

のほうが大きい。
${(\sqrt{a + b})}^{2} - {(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}})}^{2}$

$= a + b - \frac{a + b + 2 \sqrt{a b}}{2}$

$= \frac{a + b - 2 \sqrt{a b}}{2}$

$= \frac{{(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2}}{2}$

$\geq 0$

よって、

${(\sqrt{a + b})}^{2} \geq {(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}})}^{2}$

$\sqrt{a + b} \geq \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{2}}$
${| x + y |}^{2} - {(| x | - | y |)}^{2}$

$= {(x + y)}^{2} - x^{2} - y^{2} + 2 | x y |$

$= 2 (| x y | + x y)$

$\geq 0$

よって、

${(| x | - | y |)}^{2} \leq {| x + y |}^{2}$

$| x | - | y | \leq | x + y |$

（証明終）

#!/usr/bin/env python3 from sympy import sqrt from sympy.plotting import plot3d from sympy.abc import x, y print('26, 27.') fgs = [ (sqrt(x + y), (sqrt(x) + sqrt(y)) / sqrt(2)), (abs(x) - abs(y), abs(x + y)) ] for i, (f, g) in enumerate(fgs, 26): p = plot3d(f, g, (x, 0, 5), (y, 0, 5), show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.save(f'sample{i}.png') p.show()

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2020年7月19日日曜日

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