数学 - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 双対空間 - 有限次元ベクトル空間、双対空間の双対空間、同型

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、4(双対空間)、練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}\lambda v:V^{*}\to K\\ \lambda v\left(\phi \right)=\phi \left(v\right)\\ (\phi :V\to K,\phi \left(u\right)=\phi \left(v\right)\Rightarrow u=v)\\ f:V\to V^{**}\\ f\left(v\right)=\lambda v\end{array}$

   と する。

   このとき、 V の任意の元 u、 v に対して、

   $f\left(u\right)=f\left(v\right)$

   ならば、

   $\lambda u=\lambda v$

   $\lambda u\left(\phi \right)=\lambda v\left(\phi \right)$

   $\phi \left(u\right)=\phi \left(v\right)$

   $\phi \left(u\right)-\phi \left(v\right)=0$

   $\phi (u-v)=0$

   $u-v=0$

   $u=v$

   よって f は単射。

   また、双対空間

   $V^{**}$

   の任意の元

   $\phi :V^{*}\to K$

   に対して、

   $\lambda v\left(\phi \right)=\phi \left(v\right)$

   を満たす V の元 v をとれば、

   $f\left(v\right)=\phi$

   よって f は全射。

   ゆえに、 f は全単射、すなわち

   $V,V^{**}$

   は同型である。

   （証明終）