2020年7月15日水曜日

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題9の解答を求めてみる。


  1. V の正規直交基底を

    { v 1 , , v m , w 1 , , w n }

    とする。

    v を V の任意の元とし

    v = k = 1 m a k v k + l = 1 n b l w l

    とおく。

    問題の仮定より、

    v 2 = i = 1 m v , v i 2
    v 2 = i = 1 m ( a i 2 v i 2 + l = 1 n b l w l , v i 2 )
    v 2 = i = 1 m ( a i 2 v i 2 + ( l = 1 n b l w l , v i ) 2 )
    v 2 = i = 1 m ( a i 2 v i 2 )

    よって、

    n = 0

    なので、

    { v 1 , , v m }

    は V の基底である。

    (証明終)

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