数学 - 微分積分学 - 積分法 - 有界変動の関数 - 閉区間で連続微分可能な関数、平均値の定理、導関数、定数、最大値、最小値

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅣ.(積分法)、13.(有界変動の関数)、問4.の解答を求めてみる。

4. 
   

   閉区間の任意の2点

   $x,y$

   に対して、 f は微分可能なので、 閉区間

   $[x,y]$

   の ある点 c が存在して、

   $|f\left(y\right)-f\left(y\right)|\le |f\text{'}\left(c\right)||x-y|$

   また、 f は連続微分可能なのでその導関数も閉区間で連続なので、最大値 M、最小値 mが存在する。

   よって、

   $G=\max \{\left|M\right|,\left|m\right|\}$

   とおけば、 閉区間の任意の2点 x, y に対して

   $|f\left(x\right)-f\left(y\right)|\le G|x-y|$

   よって、 f は問題の閉区間で有界変動である。

   （証明終）