数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - n次元ユークリッド空間、空でない部分集合、コンパクト、閉集合、共通部分、集合間の距離

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題9の解答を求めてみる。

9. 
   

   A はコンパクトなので、 間8の（b）よりある

   $x_0\in A$

   が存在して、

   $d(x_0,B)=d(A,B)$

   が成り立つ。

   $a$

   を B の元の1つとする。

   このとき、 B と閉球

   $\frac{}{B(x_0,d(x_0,a))}$

   の共通 部分

   $B\cap \stackrel{-}{B(x_0,d(x_0,a))}$

   はコンパクトである。

   また、この共通部分の元ではない B の任意の元 y に対して

   $d(x_0,a)<d(x,y)$

   である。

   よって、

   $d(x_0,\stackrel{-}{B\cap B(x_0,d(x_0,a))})=d(x_0,B)$

   である。

   共通部分はコンパクトなので、

   $y_0\in B\cap \stackrel{-}{B(x_0,d(x_0,y_0))}$

   が存在して、

   $d(x_0,y_0)=d(x_0,B\cap \stackrel{-}{B(x_0,d(x_0,a))})=d(x_0,B)=d(A,B)$

   が成り立つ。

   （証明終）