数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 位相の基礎的諸概念 - 距離関数による新たな距離関数を定義、位相的に同値、開球、包含関係

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.1(位相の基礎的諸概念)、問題16の解答を求めてみる。

16. 
    
    $d_1(x,y)$

    $=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$

    $\ge \frac{0}{1+d(x,y)}$

    $=0$

    よって、 Dis 1 が 成り立つ。

    $d_1(x,y)=0$

    $\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=0$

    $d(x,y)=0$

    $x=y$

    よって Dis 2が成り立つ。

    $d_1(x,y)$

    $=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$

    $=\frac{d(y,x)}{1+d(y,x)}$

    $=d_1(y,x)$

    よって Dis 3が成り立つ。

    $d_1(x,y)+d_1(y,z)$

    $=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}+\frac{d(y,z)}{1+d(y,z)}$

    $\ge \frac{d(x,y)}{1+d(x,y)+d(y,z)}+\frac{d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}$

    $=\frac{d(x,y)+d(y,z)}{1+d(x,y)+d(y,z)}$

    $\ge \frac{d(x,z)}{1+d(x,z)}$

    よって Dis 4 の 三角 不等式が成り立つ。

    ゆえに

    $d_1$

    は X 上の距離関数である。

    $d_2(x,y)=\min \{1,d(x,y)\}\ge 0$

    $d_2(x,y)=0$

    $d(x,y)=0$

    $x=y$

    $d_2(x,y)$

    $=\min \{1,d(x,y)\}$

    $=\min \{1,d(y,x)\}$

    $=d_2(y,x)$

    $d_2(x,y)+d_2(y,z)$

    $=\min \{1,d(x,y)\}+\min \{1,d(y,z)\}$

    この値は

    $1,1+d(y,z),1+d(x,y),d(x,y)+d(y,z),2$

    のいずれかである。

    よって、

    $d_2(x,y)+d_2(y,z)$

    $\ge \min \{1,d(x,y)+d(y,z)\}$

    $\ge \min \{1,d(x,z)\}$

    $=d_2(x,z)$

    よって

    $d_2$

    は X 上の距離関数である。

    位相的に同値かどうかについて。

    X の任意の点 a、 任意の正の実数

    $\epsilon >0$

    集合

    $B(a;\epsilon )$

    の任意の元 x に対して、

    $d_1(a,x)=\frac{d(a,x)}{1+d(a,x)}<d(a,x)<\epsilon$

    よって、

    $x\in B_1(a;\epsilon )$

    $B(a;\epsilon )\subset B_1(a;\epsilon )$

    また開球

    $B_1(a;\frac{\epsilon }{1+\epsilon })$

    の任意の元 x に対して

    $d(a,x)=\frac{d_1(a,x)}{1-d_1(a,x)}<\epsilon$

    よって

    $x\in B(a;\epsilon )$

    $B_1(a;\frac{\epsilon }{1+\epsilon })\subset B(a;\epsilon )$

    ゆえに、

    $\delta =\frac{\epsilon }{1+\epsilon }$

    とおけば

    $B(a;\delta )\subset B_1(a;\epsilon )\wedge B_1(a;\delta )\subset B(a;\epsilon )$

    よって X 上の2つの距離関数

    $d,d_1$

    は位相的に同値である。

    $\begin{array}{l}0<{\delta }_1<\min \{1,\epsilon \}\\ B(a;{\delta }_1)\end{array}$

    の任意の元 x に対して、

    $d_2(a,x)=\min \{1,d(a,x)\}<{\delta }_1<\epsilon$

    よって

    $B(a;{\delta }_1)\subset B_2(a;\epsilon )$

    $\begin{array}{l}0<{\delta }_2<\min \{1,\epsilon \}\\ B_2(a;{\delta }_2)\end{array}$

    の任意の元 x に対して、

    $d(a,x)=d_2(a,x)<\epsilon$

    よって

    $B_2(a;{\delta }_2)\subset B(a;\epsilon )$

    ゆえに

    $\delta =\min \{{\delta }_1,{\delta }_2\}$

    とおけば

    $B(a;\delta )\subset B_1(a;\epsilon )\wedge B_1(a;\epsilon )\subset B(a;\epsilon )$

    ゆえに、

    $d,d_2$

    は位相的に同値である。

    （証明終）