数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 距離空間が可分であるための十分条件、可算基底

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   A を X の可算基底とする。

   $A={\left(V_n\right)}_{n\in \text{ℕ}}$

   このとき、

   $\begin{array}{l}B=\{x_1,\dots ,x_n\}\\ x_{\lambda }\in V_{\lambda }\end{array}$

   とおく。

   x を X の任意の元、

   $\epsilon >0$

   を任意の正の実数とする。

   このとき、

   $B(x;\epsilon )$

   は開集合なので ある

   $V_{{\lambda }_0}$

   が存在して、

   $x_{{\lambda }_0}\in V_{{\lambda }_0}\subset B(x;\epsilon )$

   が成り立つ。

   よって、

   $B(x;\epsilon )\cap B\ne \varphi$

   ゆえに、

   $x\in \stackrel{-}{B}$

   なので、

   $X=\stackrel{-}{B}$

   となり、 X は可分である。

   （証明終）