数学 - 解析学 - 距離空間の世界 - 完備性、コンパクト性 - 加算な密部分集合、必要十分条件、可分、ユークリッド空間、実数、有理数、開集合

解析入門(中)
(松坂和夫 数学入門シリーズ 5)
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解析入門(中) (松坂和夫 数学入門シリーズ 5) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第12章(距離空間の世界)、12.2(完備性、コンパクト性)、問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      
      $A\subset X$

      が X の密集合の場合。

      U を X の空でない 開集合とすると、 U の任意の元x に対してある正の整数

      $\delta >0$

      が存在して、

      $B(x;\delta )\subset U$

      $B(x;\delta )\cap X\ne \varphi$

      $B(x;\delta )\cap \stackrel{-}{A}\ne \varphi$

      $B(x;\delta )\cap A\ne \varphi$

      よって、

      $U\cap A\ne \varphi$

      逆について。

      x を X の任を a 元とする。

      任意の正の整数

      $\epsilon >0$

      に対して、

      $B(x;\epsilon )$

      は開集合なので、仮定より

      $B(x;\epsilon )\cap A\ne \varphi$

      よって、 では A の触点である。

      ゆえに、

      $X\subset \stackrel{-}{A}$

      また、

      $\stackrel{-}{A}\subset X$

      でもあるので、

      $\stackrel{-}{A}=X$

      すなわち A は X の密部分集合である。

      （証明終）

   2. 
      
      ${\text{ℚ}}^n$

      は ユークリッド空間の たかだか可算な部分集合である。

      U を空でない

      ${\text{ℝ}}^n$

      の開集合 とするとき、 U の任意の元 x に対してある正の実数

      $\delta >0$

      が存在して、

      $B(x;\delta )\subset U$

      また、

      $B(x;\delta )\cap {\text{ℚ}}^n\ne \varphi$

      よって、

      ${\text{ℚ}}^n$

      は X の密部分集合である。

      ゆえに、ユークリッド空間

      ${\text{ℝ}}^n$

      は可分である。

      （証明終）