数学 - 解析学 - ベクトルの微分 - 微分係数 - 点と曲線上の点の距離、直線と点の距離、法ベクトル

続 解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

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続 解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第2章(ベクトルの微分)、1(微分係数)の練習問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    1. 
       
       $\parallel X\left(t\right)-Q\parallel =\sqrt{(X\left(t\right)-Q)·(X\left(t\right)-Q)}$
    2. 
       
       $(X\left(t_0\right)-Q)·X\text{'}\left(t_0\right)=0$

       なので、

       $X\left(t_0\right)-Q$

       は速度ベクトル

       $X\text{'}\left(t_0\right)$

       と垂直、すなわち 法ベクトルである。

    3. 
       

       直線のパラメーター方程式を

       $X\left(t\right)=A+Bt$

       とおく。

       $\frac{d}{\mathrm{dt}}X\left(t\right)=B$
       $(A+t_{0}B-Q)·B=0$
       $(A-Q)·B+t_{0}B·B=0$
       $t_0=-\frac{(A-Q)·B}{B·B}$

       よって、 Q と

       $X\left(t_0\right)$

       との距離が最小となるような

       $t_0$

       がただ1つ存在する。

       （証明終）