数学 - 代数学 - 不等式 - 不等式の証明 - シュワルツの不等式、2次式、判別式

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(不等式)、3(不等式の証明)、問22の解答を求めてみる。

22. 
    
    $\sum _{k=1}^n{(a_{k}x-b_k)}^2\ge 0$

    $\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)x^2-2\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)x+\sum _{k=1}^n{b}_k^2\ge 0$

    よって、

    $\frac{D}{4}={\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2-\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)\le 0$

    $\left(\sum _{k=1}^n{a}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{b}_k^2\right)\ge {\left(\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\right)}^2$

    （証明終）