数学 - Pytyhon - 解析学 - ベクトル - ベクトルのノルム - 三角形、頂点、各角の余弦

続解析入門 (原書第2版)
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原著: Calculus of Several Variables

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続解析入門 (原書第2版) (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第1章(ベクトル)、4(ベクトルのノルム)の練習問題6の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} A = (2, - 1, 1) \\ B = (1, - 3, - 5) \\ C = (3, - 4, - 4) \end{array}$
  
  とおく。
  
  $\begin{array}{l} \vec{A B} = (- 1, - 2, - 6) \\ \vec{A C} = (1, - 3, - 5) \\ \vec{B A} = (1, 2, 6) \\ \vec{B C} = (2, - 1, 1) \\ \vec{C A} = (- 1, 3, 5) \\ \vec{C B} = (- 2, 1, - 1) \end{array}$
  
  $\begin{array}{l} \cos ∠ C A B \\ = \frac{\vec{A C} \cdot \vec{A B}}{∥ \vec{A C} ∥ ∥ \vec{A B} ∥} \\ = \frac{- 1 + 6 + 30}{\sqrt{1 + 9 + 25} \sqrt{1 + 4 + 36}} \\ = \frac{35}{\sqrt{35} \sqrt{41}} \\ = \frac{\sqrt{35}}{\sqrt{41}} \end{array}$
  
  $\begin{array}{l} \cos ∠ A B C \\ = \frac{2 - 2 + 6}{\sqrt{1 + 4 + 36} \sqrt{4 + 1 + 1}} \\ = \frac{6}{\sqrt{41} \sqrt{6}} \\ = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{41}} \end{array}$
  
  $\cos ∠ B C A = 0$
2. $A = (3, 1, 1), B = (- 1, 2, 1), C = (2, - 2, 5)$
  
  $\begin{array}{l} \vec{A B} = (- 4, 1, 0) \\ \vec{A C} = (- 1, - 3, 4) \\ \vec{B A} = (4, - 1, 0) \\ \vec{B C} = (3, - 4, 4) \\ \vec{C A} = (1, 3, - 4) \\ \vec{C B} = (- 3, 4, - 4) \end{array}$
  
  $\begin{array}{l} \cos ∠ C A B \\ = \frac{4 - 3}{\sqrt{17} \sqrt{26}} \\ = \frac{1}{\sqrt{17} \sqrt{26}} \end{array}$
  
  $\begin{array}{l} \cos ∠ A B C \\ = \frac{12 + 4}{\sqrt{17} \sqrt{41}} \\ = \frac{16}{\sqrt{17 \cdot 41}} \end{array}$
  
  $\begin{array}{l} \cos ∠ B C A \\ = \frac{- 3 + 12 + 16}{\sqrt{26} \sqrt{41}} \\ = \frac{25}{\sqrt{26 \cdot 41}} \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, Matrix, sqrt print('6.') class TestTriangleCosine(TestCase): def test(self): As = [Matrix(t) for t in [(2, -1, 1), (3, 1, 1)]] Bs = [Matrix(t) for t in [(1, -3, -5), (-1, 2, 1)]] Cs = [Matrix(t) for t in [(3, -4, -4), (2, -2, 5)]] cs = [(sqrt(35) / sqrt(41), sqrt(6) / sqrt(41), 0), (1 / sqrt(17 * 26), 16 / sqrt(17 * 41), 25 / sqrt(26 * 41))] for i, (A, B, C, (ca, cb, cc)) in enumerate(zip(As, Bs, Cs, cs)): print(f'({chr(ord("a") + i)})') self.assertEqual((B - A).dot(C - A) / ((B - A).norm() * (C - A).norm()), ca) self.assertEqual((C - B).dot(A - B) / ((C - B).norm() * (A - B).norm()), cb) self.assertEqual((B - C).dot(A - C) / ((B - C).norm() * (A - C).norm()), cc) if __name__ == "__main__": main()

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2020年6月10日水曜日

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