## 2020年6月19日金曜日

### 数学 - Python - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 異なる2定点、ノルム、比、球面、ベクトルの計算、内積

1. $|\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{a}|=2|\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{b}|$
${|\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{a}|}^{2}=4{|\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{b}|}^{2}$
$\left(\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{a}\right)·\left(\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{a}\right)=4\left(\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{b}\right)·\left(\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{b}\right)$
${|\stackrel{\to }{p}|}^{2}+{|\stackrel{\to }{a}|}^{2}-2\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{p}=4{|\stackrel{\to }{p}|}^{2}+4{|\stackrel{\to }{b}|}^{2}-8\stackrel{\to }{b}·\stackrel{\to }{p}$
$3{|\stackrel{\to }{p}|}^{2}-{|\stackrel{\to }{a}|}^{2}+4{|\stackrel{\to }{b}|}^{2}+2\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{p}-8\stackrel{\to }{b}·\stackrel{\to }{p}=0$
${|\stackrel{\to }{p}|}^{2}-\frac{{|\stackrel{\to }{a}|}^{2}}{3}+\frac{4}{3}{|\stackrel{\to }{b}|}^{2}+\frac{2}{3}\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{p}-\frac{8}{3}\stackrel{\to }{b}·\stackrel{\to }{p}=0$
${|\stackrel{\to }{p}-\frac{4\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}}{3}|}^{2}-\frac{1}{9}{|4\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}|}^{2}+\frac{2}{3}\left(4\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}\right)·\stackrel{\to }{p}-\frac{{|\stackrel{\to }{a}|}^{2}}{3}+\frac{4}{3}{|\stackrel{\to }{b}|}^{2}+\frac{2}{3}\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{p}-\frac{8}{3}\stackrel{\to }{b}·\stackrel{\to }{p}=0$
${|\stackrel{\to }{p}-\frac{4\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}}{3}|}^{2}-\frac{4}{9}{|\stackrel{\to }{a}|}^{2}-\frac{4}{9}{|\stackrel{\to }{b}|}^{2}+\frac{8}{9}\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{b}=0$
${|\stackrel{\to }{p}-\frac{4}{3}\left(\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}\right)|}^{2}=\frac{4}{9}\left({|\stackrel{\to }{a}|}^{2}-2\stackrel{\to }{a}·\stackrel{\to }{b}+{|\stackrel{\to }{b}|}^{2}\right)$
${|\stackrel{\to }{p}-\frac{4}{3}\left(\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}\right)|}^{2}=\frac{4}{9}{|\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}|}^{2}$
$|\stackrel{\to }{p}-\frac{4}{3}\left(\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}\right)|=\frac{2}{3}{|\stackrel{\to }{b}-\stackrel{\to }{a}|}^{2}$
$|\stackrel{\to }{p}-\stackrel{\to }{c}|=r$

よって、 点 C を中心とする半径 r の 球面である。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
import random
from sympy import solve, Matrix, symbols, pprint
from sympy.plotting import plot3d

print('42.')

x, y, z = symbols('x, y, z', real=True)
p = Matrix([x, y, z])
for i in range(2):
a = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
b = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
pprint(a)
pprint(b)
eq = (p - a).norm() - 2 * (p - b).norm()
zs = solve(eq, z)
pprint(zs)
p3d = plot3d(*zs,
(x, -10, 10),
(y, -10, 10),
show=False)

p3d.save(f'sample42_{i}.png')

p3d.show()


% ./sample42.py
42.
⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎢-4⎥
⎢  ⎥
⎣2 ⎦
⎡-5⎤
⎢  ⎥
⎢-2⎥
⎢  ⎥
⎣5 ⎦
⎡       ____________________________________     _____________________________
⎢      ╱      2              2                  ╱      2              2
⎢    ╲╱  - 9⋅x  - 114⋅x - 9⋅y  - 24⋅y - 261   ╲╱  - 9⋅x  - 114⋅x - 9⋅y  - 24⋅y
⎢6 - ───────────────────────────────────────, ────────────────────────────────
⎣                       3                                        3

_______    ⎤
⎥
- 261     ⎥
─────── + 6⎥
⎦
⎡3⎤
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎣3⎦
⎡-3⎤
⎢  ⎥
⎢2 ⎥
⎢  ⎥
⎣1 ⎦
⎡       ___________________________________     ______________________________
⎢      ╱      2             2                  ╱      2             2
⎢1   ╲╱  - 9⋅x  - 90⋅x - 9⋅y  + 42⋅y - 110   ╲╱  - 9⋅x  - 90⋅x - 9⋅y  + 42⋅y -
⎢─ - ──────────────────────────────────────, ─────────────────────────────────
⎣3                     3                                       3

_____    ⎤
⎥
110    1⎥
───── + ─⎥
3⎦
%