数学 - Python - 立体的な広がりの中の図形 - 空間図形 - 直線・平面・球の方程式 - 異なる2定点、ノルム、比、球面、ベクトルの計算、内積

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新装版数学読本3 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問42の解答を求めてみる。

$| \vec{p} - \vec{a} | = 2 | \vec{p} - \vec{b} |$

${| \vec{p} - \vec{a} |}^{2} = 4 {| \vec{p} - \vec{b} |}^{2}$

$(\vec{p} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \vec{a}) = 4 (\vec{p} - \vec{b}) \cdot (\vec{p} - \vec{b})$

${| \vec{p} |}^{2} + {| \vec{a} |}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{p} = 4 {| \vec{p} |}^{2} + 4 {| \vec{b} |}^{2} - 8 \vec{b} \cdot \vec{p}$

$3 {| \vec{p} |}^{2} - {| \vec{a} |}^{2} + 4 {| \vec{b} |}^{2} + 2 \vec{a} \cdot \vec{p} - 8 \vec{b} \cdot \vec{p} = 0$

${| \vec{p} |}^{2} - \frac{{| \vec{a} |}^{2}}{3} + \frac{4}{3} {| \vec{b} |}^{2} + \frac{2}{3} \vec{a} \cdot \vec{p} - \frac{8}{3} \vec{b} \cdot \vec{p} = 0$

${| \vec{p} - \frac{4 \vec{b} - \vec{a}}{3} |}^{2} - \frac{1}{9} {| 4 \vec{b} - \vec{a} |}^{2} + \frac{2}{3} (4 \vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{p} - \frac{{| \vec{a} |}^{2}}{3} + \frac{4}{3} {| \vec{b} |}^{2} + \frac{2}{3} \vec{a} \cdot \vec{p} - \frac{8}{3} \vec{b} \cdot \vec{p} = 0$

${| \vec{p} - \frac{4 \vec{b} - \vec{a}}{3} |}^{2} - \frac{4}{9} {| \vec{a} |}^{2} - \frac{4}{9} {| \vec{b} |}^{2} + \frac{8}{9} \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

${| \vec{p} - \frac{4}{3} (\vec{b} - \vec{a}) |}^{2} = \frac{4}{9} ({| \vec{a} |}^{2} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} + {| \vec{b} |}^{2})$

${| \vec{p} - \frac{4}{3} (\vec{b} - \vec{a}) |}^{2} = \frac{4}{9} {| \vec{b} - \vec{a} |}^{2}$

$| \vec{p} - \frac{4}{3} (\vec{b} - \vec{a}) | = \frac{2}{3} {| \vec{b} - \vec{a} |}^{2}$

$| \vec{p} - \vec{c} | = r$

よって、点 C を中心とする半径 r の球面である。

（証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
import random
from sympy import solve, Matrix, symbols, pprint
from sympy.plotting import plot3d

print('42.')

x, y, z = symbols('x, y, z', real=True)
p = Matrix([x, y, z])
for i in range(2):
    a = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
    b = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
    pprint(a)
    pprint(b)
    eq = (p - a).norm() - 2 * (p - b).norm()
    zs = solve(eq, z)
    pprint(zs)
    p3d = plot3d(*zs,
                 (x, -10, 10),
                 (y, -10, 10),
                 show=False)

    p3d.save(f'sample42_{i}.png')

p3d.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample42.py
42.
⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎢-4⎥
⎢  ⎥
⎣2 ⎦
⎡-5⎤
⎢  ⎥
⎢-2⎥
⎢  ⎥
⎣5 ⎦
⎡       ____________________________________     _____________________________
⎢      ╱      2              2                  ╱      2              2       
⎢    ╲╱  - 9⋅x  - 114⋅x - 9⋅y  - 24⋅y - 261   ╲╱  - 9⋅x  - 114⋅x - 9⋅y  - 24⋅y
⎢6 - ───────────────────────────────────────, ────────────────────────────────
⎣                       3                                        3            

_______    ⎤
           ⎥
 - 261     ⎥
─────── + 6⎥
           ⎦
⎡3⎤
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎣3⎦
⎡-3⎤
⎢  ⎥
⎢2 ⎥
⎢  ⎥
⎣1 ⎦
⎡       ___________________________________     ______________________________
⎢      ╱      2             2                  ╱      2             2         
⎢1   ╲╱  - 9⋅x  - 90⋅x - 9⋅y  + 42⋅y - 110   ╲╱  - 9⋅x  - 90⋅x - 9⋅y  + 42⋅y -
⎢─ - ──────────────────────────────────────, ─────────────────────────────────
⎣3                     3                                       3              

_____    ⎤
         ⎥
 110    1⎥
───── + ─⎥
        3⎦
%

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2020年6月19日金曜日

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