2020年6月19日金曜日

学習環境

新装版 数学読本3 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第11章(立体的な広がりの中の図形 - 空間図形)、11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問42の解答を求めてみる。


  1. | p - a | = 2 | p - b |
    | p - a | 2 = 4 | p - b | 2
    ( p - a ) · ( p - a ) = 4 ( p - b ) · ( p - b )
    | p | 2 + | a | 2 - 2 a · p = 4 | p | 2 + 4 | b | 2 - 8 b · p
    3 | p | 2 - | a | 2 + 4 | b | 2 + 2 a · p - 8 b · p = 0
    | p | 2 - | a | 2 3 + 4 3 | b | 2 + 2 3 a · p - 8 3 b · p = 0
    | p - 4 b - a 3 | 2 - 1 9 | 4 b - a | 2 + 2 3 ( 4 b - a ) · p - | a | 2 3 + 4 3 | b | 2 + 2 3 a · p - 8 3 b · p = 0
    | p - 4 b - a 3 | 2 - 4 9 | a | 2 - 4 9 | b | 2 + 8 9 a · b = 0
    | p - 4 3 ( b - a ) | 2 = 4 9 ( | a | 2 - 2 a · b + | b | 2 )
    | p - 4 3 ( b - a ) | 2 = 4 9 | b - a | 2
    | p - 4 3 ( b - a ) | = 2 3 | b - a | 2
    | p - c | = r

    よって、 点 C を中心とする半径 r の 球面である。

    (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
import random
from sympy import solve, Matrix, symbols, pprint
from sympy.plotting import plot3d

print('42.')

x, y, z = symbols('x, y, z', real=True)
p = Matrix([x, y, z])
for i in range(2):
    a = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
    b = Matrix([random.randrange(-5, 6) for _ in range(3)])
    pprint(a)
    pprint(b)
    eq = (p - a).norm() - 2 * (p - b).norm()
    zs = solve(eq, z)
    pprint(zs)
    p3d = plot3d(*zs,
                 (x, -10, 10),
                 (y, -10, 10),
                 show=False)

    p3d.save(f'sample42_{i}.png')

p3d.show()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample42.py
42.
⎡-1⎤
⎢  ⎥
⎢-4⎥
⎢  ⎥
⎣2 ⎦
⎡-5⎤
⎢  ⎥
⎢-2⎥
⎢  ⎥
⎣5 ⎦
⎡       ____________________________________     _____________________________
⎢      ╱      2              2                  ╱      2              2       
⎢    ╲╱  - 9⋅x  - 114⋅x - 9⋅y  - 24⋅y - 261   ╲╱  - 9⋅x  - 114⋅x - 9⋅y  - 24⋅y
⎢6 - ───────────────────────────────────────, ────────────────────────────────
⎣                       3                                        3            

_______    ⎤
           ⎥
 - 261     ⎥
─────── + 6⎥
           ⎦
⎡3⎤
⎢ ⎥
⎢1⎥
⎢ ⎥
⎣3⎦
⎡-3⎤
⎢  ⎥
⎢2 ⎥
⎢  ⎥
⎣1 ⎦
⎡       ___________________________________     ______________________________
⎢      ╱      2             2                  ╱      2             2         
⎢1   ╲╱  - 9⋅x  - 90⋅x - 9⋅y  + 42⋅y - 110   ╲╱  - 9⋅x  - 90⋅x - 9⋅y  + 42⋅y -
⎢─ - ──────────────────────────────────────, ─────────────────────────────────
⎣3                     3                                       3              

_____    ⎤
         ⎥
 110    1⎥
───── + ─⎥
        3⎦
%

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