数学 - Python - 線形代数学 - 行列式 - 線形写像の行列式 - 線形性、加法、スカラー倍、積、差、零、必要十分条件、非可逆

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、10(線形写像の行列式)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   ${\phi }_B(A+C)$

   $=(A+C)B-B(A+C)$

   $\begin{array}{l}=AB+CB-BA-BC\\ =AB-BA+CB-BC\\ ={\phi }_B\left(A\right)+{\phi }_B\left(C\right)\end{array}$

   ${\phi }_B\left(cA\right)$

   $=\left(cA\right)B-B\left(cA\right)$

   $=c\left(AB\right)-c\left(BA\right)$

   $=c(AB-BA)$

   $=c{\phi }_B\left(A\right)$

   よって、線形写像である。

   （証明終）

   ${\phi }_B\left(I\right)=O$

   よって、 この線形写像は可逆ではない。

   ゆえにこの行列式の値は0である。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import Matrix, symbols, MatrixSymbol
from sympy.abc import c

print('1.')

A = MatrixSymbol('A', 4, 4)
B = Matrix(symbols('b:16')).reshape(4, 4)
C = Matrix(symbols('c:16')).reshape(4, 4)
D = Matrix(symbols('d:16')).reshape(4, 4)
f = A * B - B * A


def eq(A, B):
    return all([a == b for a, b in zip(A, B)])


class Test(TestCase):
    def test_add(self):
        self.assertTrue(
            eq(
                f.subs({A: C + D}),
                f.subs({A: B}) + f.subs({A: C})
            )
        )

    def test_scalar_mul(self):
        self.assertTrue(
            eq(
                f.subs({A: c * C}),
                c * f.subs({A: C}),
            )
        )


if __name__ == "__main__":
    main()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v
1.
test_add (__main__.Test) ... ok
test_scalar_mul (__main__.Test) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.065s

OK
%