数学 - Python - 代数学 - 1次関数、2次関数 - 2次関数の最大と最小 - 針金、切り分け、正方形、長方形、面積の和

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(1次方程式、2次方程式)、5(2次関数の最大と最小)の問20の解答を求めてみる。

20. 
    

    正方形のわくを作る針金の長さを x とする。

    このとき 長方形のわくを作る針金の長さは

    $34-x$

    正方形の面積は

    ${\left(\frac{x}{4}\right)}^2$

    2辺の辺の比が

    $1:2$

    である長方形の面積は

    $\frac{1}{3}·\frac{34-x}{2}·\frac{2}{3}·\frac{34-x}{2}=\frac{{\left(34-x\right)}^2}{2·3^2}$

    正方形と長方形の面積の和は、

    $\frac{x^2}{4^2}+\frac{{\left(34-x\right)}^2}{2·3^2}$

    $=\frac{x^2}{2^4}+\frac{x^2-68x+34^2}{2·3^2}$

    $=\frac{1}{2^4·3^2}\left(3^2{x}^2+2^3{x}^2-2^3·68x\right)+\frac{34^2}{2·3^2}$

    $=\frac{2^3+3^2}{2^4·3^2}\left(x^2-\frac{2^3·68}{2^3+3^2}x\right)+\frac{34^2}{2·3^2}$

    $=\frac{2^3+3^2}{2^4·3^2}{\left(x-\frac{2^3·34}{2^3+3^2}\right)}^2-\frac{2^3+3^2}{2^4·3^2}·{\left(\frac{2^3+34}{2^3+3^2}\right)}^2+\frac{34^2}{2·3^2}$

    よって、 針金を

    $\begin{array}{l}\frac{2^3·34}{2^3+3^2}=\frac{8·34}{17}=16\mathrm{cm}\\ 34-16=18\mathrm{cm}\end{array}$

    に切ったとき、正方形と長方形の面程は最小となり、その値は

    $\begin{array}{l}{\left(\frac{16}{4}\right)}^2+\frac{1}{3}·\frac{18}{2}·\frac{2}{3}·\frac{18}{2}\\ =16+18\\ =34{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

    である。

コード

#!/usr/bin/env python3
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import animation
from sympy import symbols, plot, Rational

print('20.')

a = 34
x = symbols('x')
m = x / 4
n1 = (a - x) / 6
n2 = 2 * (a - x) / 6
s1 = m ** 2
s2 = n1 * n2
s = s1 + s2
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

p = plot(s, 34,
         (x, 0, 40),
         ylim=(10, 50),
         legend=True,
         show=False)
for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.save('sample20.png')
p.show()

frames = 50


def update_rect(i: int, square: plt.Rectangle, rect: plt.Rectangle):
    if i == 0:
        square.set_y(0)
        square.set_width(a / 4)
        square.set_height(a / 4)
    sw = square.get_width()
    sw -= a / 4 / frames
    l = (a - 4 * sw) / 2 / 3
    square.set_width(sw)
    square.set_height(sw)
    rect.set_width(2 * l)
    rect.set_height(l)
    square.set_y(l)


fig = plt.gcf()
ax = plt.axes(xlim=(0, a / 3), ylim=(0, a / 3), aspect='equal')
square = plt.Rectangle((0, 0), a / 4, a / 4, fill=False)
rect = plt.Rectangle((0, 0), 0, 0, fill=False)
ax.add_patch(square)
ax.add_patch(rect)

anim = animation.FuncAnimation(fig, update_rect,
                               fargs=(square, rect),
                               frames=frames,
                               interval=100,
                               repeat=True)
plt.show()
anim.save('sample20.gif', writer='imagemagick')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample20.py 
20.
%