数学 - Python - 代数学 - 1次関数、2次関数 - 周囲の長さが一定で正三角形と長方形からなる凸五角形の面積の最大値

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(1次方程式、2次方程式)、練習問題14の解答を求めてみる。

14. 
    

    AB の長さを x、 BC の長さを y、 CD の長さを z とする。

    このとき、

    $2x+2y+z=33$

    また、

    $z=x$

    なので、

    $\begin{array}{l}3x+2y=33\\ y=\frac{-3x+33}{2}\end{array}$

    五角形の面積は

    $\frac{1}{2}·\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^2+yz$

    $\begin{array}{l}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{33}{2}x\\ =\frac{\sqrt{3}-6}{4}{x}^2+\frac{33}{2}x\\ =\frac{\sqrt{3}-6}{4}(x^2+\frac{4}{\sqrt{3}-6}·\frac{33}{2}x)\\ =\frac{\sqrt{3}-6}{4}{(x+\frac{33}{\sqrt{3}-6})}^2-\frac{\sqrt{3}-6}{4}·{\left(\frac{33}{\sqrt{3}-6}\right)}^2\end{array}$

    よって、凸五角形の面積の最大値は

    $\begin{array}{l}\frac{6-\sqrt{3}}{4}·\frac{33^2}{{(6-\sqrt{3})}^2}\\ =\frac{33^2}{4(6-\sqrt{3})}\\ =\frac{33^2(6+\sqrt{3})}{4(36-3)}\\ =\frac{33(6+\sqrt{3})}{4}{\mathrm{cm}}^2\end{array}$

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import plot, sqrt
from sympy.abc import x

print('14.')

s = sqrt(3) * x ** 2 / 4 - 3 * x ** 2 / 2 + 33 * x / 2
p = plot(s, 33 * (6 + sqrt(3)) / 4,
         (x, 0, 10),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color
p.show()
p.save('sample14.png')

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample14.py
14.
%