数学 - 線形代数学 - 行列式 - 一意性 - n次元列ベクトル、一次独立、非零、単位ベクトル、一次結合、和とスカラー倍

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の6章(行列式)、6(一意性)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}{E}^j=\sum _{k=1}^n{c}_{kj}{A}^j\\ (j=1,\dots ,n)\end{array}$

   とおく。

   $D(E^1,\dots ,E^n)=1$

   $D(\sum _{k=1}^n{c}_{k1}{A}^1,\dots ,\sum _{k=1}^n{c}_{kn}{A}^n)=1$

   $\sum _{k=1}^n\sum _{l=1}^n{c}_{kl}D(A^1,\dots ,A^n)=1$

   よって、

   $D(A^1,\dots ,A^n)\ne 0$

   である。

   （証明終）